Задача №3. Балка на упругом основании

Цель задачи: определить напряженно-деформированное состояние балки на упругом основании под действием сосредоточенных сил.

Описание задачи: деревянная балка на упругом основании нагружена двумя сосредоточенными силами P (см. расчетную схему). Смятие древесины не учитывается.

Литература: Ахметзянов М.Х., Карманова Т.Ф., Суровин П.Г. Расчет балок и плит на упругом основании: учеб. пособие. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2014.  

Исходные данные
Длина:a=2,7 мДлина: a = 2,7\ м
Ширина основания:a=0,25 мШирина\ основания:a=0,25\ м
Момент инерции:I=11314∙10−8 м4Момент\ инерции: I = 11314\bullet10^{-8}\ м^4
Модуль упругости:E=104 МПаМодуль\ упругости: E=10^4\ МПа
Коэффициент Пуассона:ν=0,3Коэффициент\ Пуассона: ν=0,3
Коэффициент постели:k=100 МН/м3Коэффициент\ постели: k=100\ МН/м^3
Аналитическое решение

Расчет произведем методом начальных параметров с использованием функций Крылова. Определим аргумент функций Крылова:

β=∜(kb/4EI)=∜((100∙0,25)/(4∙104∙11314∙10−8))=1,53 м−1.β=∜(kb/4EI)=∜((100∙0,25)/(4∙10^4∙11314∙10^{-8}))=1,53\ м^{-1}.
βl=1,53∙2,7=4,131.βl=1,53∙2,7=4,131.

Поскольку аргумент функций Крылова находится в допустимых пределах 0,6<βl<5,0, делаем вывод о том, что балка средней длины и выбранный метод применим к данной расчетной схеме.

Примем начало координат на левом конце балки. Так как конец балки не нагружен, запишем граничные условия: M₀=0, Q₀=0.

Тогда для центрального участка 0,55 м < x < 2,15 м:

w(x)=w0Y1(βx)+θ0/β∙Y2(βx)+4Pβ/kb∙Y4(β(x−a1)).w(x)=w_0 Y_1 (βx)+θ_0/β\bullet Y_2 (βx)+4Pβ/kb\bullet Y_4 (β(x-a_1 )).

Для нахождения w₀ и θ₀ используем условия симметрии: θ(l/2) = 0, Q(l/2) = 0.

θl/2=−4w0∙1,53Y4(1,53∙1,35)+θ0Y1(1,53∙1,35)+(4∙90∙1,53)/(100∙103∙0,25)1,53Y3(1,53∙0,8)=0,θ_{l/2}= -4w_0∙1,53Y_4 (1,53∙1,35)+θ_0 Y_1 (1,53∙1,35)+(4∙90∙1,53)/(100∙10^3∙0,25) 1,53Y_3 (1,53∙0,8)=0,
Ql/2=−EI[−4w0∙1,533∙Y2(1,53∙1,35)−4∙θ0∙1,532Y3(1,53∙1,35)+(4∙90∙1,53)/(100∙103∙0,25)∙1,533Y1(1,53∙0,8)]=0.Q_{l/2}=-EI[-4w_0∙1,53^3∙Y_2 (1,53∙1,35)-4∙θ_0\bullet 1,53^2 Y_3 (1,53∙1,35)+(4∙90∙1,53)/(100∙10^3∙0,25)\bullet 1,53^3 Y_1 (1,53∙0,8)]=0.

Вычислим функции Крылова и получим систему уравнений для определения w₀ и θ₀:

−8,22w0−1,90θ0+4,02∙10−3=0    →w0=2,75∙10−3м−12,07w0−16,0θ0+12,39∙10−3=0→θ0=1,02∙10−3рад-8,22w_0-1,90θ_0+4,02∙10^{-3}=0\ \ \ \ → w_0=2,75\bullet 10^{-3}м\\ -12,07w_0-16,0θ_0+12,39∙10^{-3}=0 →θ_0=1,02\bullet 10^{-3} рад

Рассчитаем перемещения в характерных точках: w(0) = 2,75 мм; w(0,55) = 3,08 мм; w(1,35) = 1,98 мм.

Дважды продифференцируем функцию прогибов и рассчитаем изгибающие моменты в точке приложения силы и в середине шпалы:

При x < 0,55 м:

M(x)=−EIβ2[−4w0Y3(βx)−4θ0/βY4(βx)].M(x)=-EIβ^2[-4w_0 Y_3 (βx)-4 θ_0/β Y_4 (βx)].

При x > 0,55 м:

M(x)=−EIβ2[−4w0Y3(βx)−4θ0/βY4(βx)+4Pβ/kbY2(β(x−0,55))].M(x)=-EIβ^2[-4w_0 Y_3 (βx)-4 θ_0/β Y_4 (βx)+4Pβ/kb Y_2 (β(x-0,55))].

Изгибающие моменты в характерных точках: M(0,55) = 10,98 кНм; M(1,35) = -6,78 кНм.

Решение в ПАРИС

Для составления расчетной модели добавим в проект материал и сечение в соответствии с исходными данными. Создадим вдоль оси X 21 узел. На крайних участках балки шаг узлов составит 137,5 мм, между узловыми нагрузками - 133,3 мм. Соединим их стержневыми конечными элементами типа Балка. В узлы № 5, 17 приложим вертикальную нагрузку величиной 90 кН. Во все узлы добавим одноузловые связи. Выполним статический расчет конструкции и сравним результаты.

Жесткость одноузловых связей устанавливается абсолютной по Dy, Rx, Rz. По Dz определяется формулой:

Dz=k∙A,D_z=k\bullet A,

где A -  площадь взаимодействия балки с грунтом.

Таблица жесткостей одноузловых связей КЭ-модели
Таблица жесткостей одноузловых связей КЭ-модели
Расчетная модель балки
Расчетная модель балки
Деформированный вид балки, мм
Деформированный вид балки, мм
Эпюра изгибающих моментов, кНм
Эпюра изгибающих моментов, кНм
w(0), ммw(0,55), ммw(1,35), ммM(0,55), кНмM(1,35), кНм
Аналитика2,753,081,9810,98-6,78
ПАРИС2,743,091,9711,02-6,80
Погрешность, %-0,2-0,2-0,60,40,3

Скачать материалы

Последние материалы
Балка на упругом основанииЗакритический изгиб консолиТрехступенчатая шарнирная балкаПродвинутый курс | Сравнение скорости моделирования опорВебинар | Моделирование и расчёт ортотропного пролетного строения
Архивы
Категории

Статьи

Видео

Верификация