Задача №1. Трехступенчатая шарнирная балка

Цель задачи: определить углы поворота сечений и поперечные перемещения в местах приложения сил.

Описание задачи: шарнирная балка нагружается тремя сосредоточенными силами P (см. расчетную схему). По длине балка имеет три участка разной жесткости и равной длины.

Расчетная схема
Расчетная схема

Литература: Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. - Киев: Наук. думка, 1988.

Исходные данные
Длина:a=1м,Длина: a = 1 м,
Момент инерции:I1=5∙106  м4Момент\ инерции: I_1 = 5\bullet10^6\ \ м^4
Площадь поперечного сечения:F1=1∙10−2  м2Площадь\ поперечного\ сечения: F_1=1\bullet10^{-2}\ \ м^2
I1:I2:I3=1:2:3,F1:F2:F3=1:2:3I_1:I_2:I_3 = 1:2:3,\quad F_1:F_2:F_3 = 1:2:3
Модуль упругости:E=2∙1011 ПаМодуль\ упругости:E=2\bullet10^{11}\ Па
Нагрузка:P=1 кННагрузка: P=1\ кН
Аналитическое решение

Произведем замену ступенчатой балки эквивалентной балкой постоянного сечения с моментом инерции I₃, равным моменту инерции третьего участка исходной балки. Так как изгибающий момент является линейной функцией нагрузки, то для каждой части балки различной жесткости можно умножить на коэффициент приведения все внешние нагрузки данной части и внутренние усилия Q и M в местах сопряжения различных ступеней. После чего соединим отдельные части одну с другой и просуммировав внутренние усилия в стыке, получим балку постоянного сечения с изгибной жесткость EI₃ = 3EI, нагруженную приведенными внешними нагрузками.

Коэффициенты приведения для каждой части балки:

β1=I3/I1=3;β2=I3/I2=3/2=1,5;β3=I3/I3=1.β_1=I_3/I_1 =3; β_2=I_3/I_2 =3/2=1,5; β_3=I_3/I_3 =1.
Схема балки: а – исходная геометрическая схема; б – участки балки разной жесткости с действующими на них усилиями; в – приведенная балка жесткостью  3EI
Схема балки: а – исходная геометрическая схема; б – участки балки разной жесткости с действующими на них усилиями; в – приведенная балка жесткостью  3EI

Для определения деформаций балки запишем универсальное уравнение упругой линии:

(x)=1/3EI [ω0+θ0 x+(4,5Px3)/6−(3P(x−a)3)/6−(0,75P(x−2a)3)/6]−(x)=1/3EI\ [\omega_0+\theta_0\ x+(4,5Px^3)/6-(3P(x-a)^3)/6-(0,75P(x-2a)^3)/6]-
−1/3EI [(3Pa(x−2a)2)/2+(1,5P(x−3a)3)/6+(Pa(x−4a)2)/2]+-1/3EI\ [(3Pa(x-2a)^2)/2+(1,5P(x-3a)^3)/6+(Pa(x-4a)^2)/2]+
+1/3EI [(0,25P(x−4a3))/6−(P(x−5a)3)/6]+1/3EI\ [(0,25P(x-4a^3))/6-(P(x-5a)^3)/6]

Для определения констант ω₀ и θ₀ запишем граничные условия:

при x=0:ωx=0=0; при x=6a:ωx=6a=0.при\ x=0: ω_{x=0} = 0;\ при\ x = 6a: ω_{x=6a} = 0.
Следовательно θ0=707/72∙(Pa2)/3EI=707/216∙(Pa2)/EIСледовательно\ \theta_0=707/72\bullet(Pa^2)/3EI=707/216\bullet(Pa^2)/EI

Тогда вертикальные прогибы в точках приложения внешних сил:

ω1=−653/216∙(Pa3)/EI (при x=a)\omega_1=-653/216\bullet(Pa^3)/EI\ (при\ x=a)
ω2=−89/18∙(Pa3)/EI (при x=3a)\omega_2=-89/18\bullet(Pa^3)/EI\ (при\ x=3a)
ω3=−481/216∙(Pa3)/EI (при x=5a)\omega_3=-481/216\bullet(Pa^3)/EI\ (при\ x=5a)

Углы поворота опорных сечений:

θ1=−499/216∙(Pl2)/EI (при x=0)\theta_1=-499/216\bullet(Pl^2)/EI\ (при\ x=0)
θ2=−707/216∙(Pl2)/EI (при x=6a)\theta_2=-707/216\bullet(Pl^2)/EI\ (при\ x=6a)
Решение в ПАРИС

Для составления расчетной модели добавим в проект материал и сечение в соответствии с исходными данными. Создадим вдоль оси X 7 узлов с шагом 1 м. соединим их стержневыми конечными элементами типа Балка. В узлы № 2, 4, 6 приложим вертикальную нагрузку величиной 1 кН. В узлах № 1 и 7 добавим ограничения перемещений по DZ. В узле № 7 дополнительно ограничим продольные перемещения DX. Выполним статический расчет конструкции и сравним результаты (перемещения и углы поворота конечно-элементной модели доступны в таблице результатов).

Расчетная модель балки
Расчетная модель балки
Вертикальные перемещения узлов модели
Вертикальные перемещения узлов модели
Параметр АналитикаПАРИСПогрешность, %
ω₁, мм   -3,02 -3,020
ω₂  -4,94-4,940
ω₃, мм -2,23-2,230
θ₁, рад·1000 2,312,310
θ₂, рад·1000-3,27-3,270

Скачать расчетную модель

Последние материалы
Трехступенчатая шарнирная балкаПродвинутый курс | Сравнение скорости моделирования опорВебинар | Моделирование и расчёт ортотропного пролетного строенияРасчет железобетонной балки автодорожного пролетного строенияПродвинутый курс | Задание сейсмической нагрузки
Архивы
Категории

Статьи

Видео

Верификация