Задача №4. Соосные стержни под действием изменения температуры

Цель задачи: определить напряженно-деформированное состояние защемленных стержней при равномерном нагреве.

Описание задачи: соосные защемленные стержни разного поперечного сечения испытывают равномерный нагрев (см. расчетную схему).

Расчетная схема
Расчетная схема

Литература: Тимошенко, С.П. Сопротивление материалов. Том 1. Элементарная теория и задачи. – Москва: Наука, 1965.    

Исходные данные
Длина:L1=L2=1 мДлина: L_1=L_2=1\ м
Площади поперечных сечений A1=100 см2, A2=200 см2Площади\ поперечных\ сечений\ A_1=100\ см^2,\ A_2=200\ см^2
Модуль упругости E=2,0⋅105 МПаМодуль\ упругости\ E=2,0⋅10^5\ МПа
Коэффициент температурного расширения αt=1,25⋅10−5 1/℃Коэффициент\ температурного\ расширения\ \alpha_t=1,25⋅{10}^{-5}\ 1/℃
Равномерный нагрев ∆t=60℃Равномерный\ нагрев\ ∆t=60℃
Аналитическое решение

Линейная система является один раз статически неопределимой. Для раскрытия статической неопределимости заменим правую заделку в точке В на реакцию Rb, и запишем деформационное уравнение:

∆lt+∆lRb=0.∆l_t+∆l_{R_b}=0.
Основная система
Основная система

Определим удлинение стержня от температурного воздействия:

∆lt=αili∆ti=∆tαtli=∆tαt(L1+L2).∆l_t=α_il_i∆t_i=∆tα_tl_i=∆tα_t(L1+L2).

Определим удлинение стержня под действием силы Rb:

∆lRb=∑NiliEiAi=RbE∑LiAi=RbL1/A1+L2/A2E=RbL1A2+L2A1EA1A2.∆l_{R_b}=∑\frac{N_i l_i}{E_i A_i}=\frac{R_b}{E} ∑\frac{L_i}{A_i} =R_b\frac{L_1/A_1 +L_2/A_2 }{E}=R_b\frac{L_1 A_2+L_2 A_1}{EA_1 A_2}.

Выразим из деформационного уравнения продольную силу:

∆lt+∆lRb=∆tαt(L1+L2)+RbL1A2+L2A1EA1A2=0,∆l_t+∆l_{R_b}=∆tα_t (L_1+L_2 )+R_b\frac{L_1 A_2+L_2 A_1 }{EA_1 A_2}=0,
Rb=−∆tαtEA1A2L1+L2L1A2+L2A1.R_b=-∆tα_t EA_1 A_2\frac{L_1+L_2 }{L_1 A_2+L_2 A_1 }.

Определим величину продольной силы Rb:  

Rb=−60∙1,25∙10−5∙2,0∙105∙100∙10−4∙200∙10−41+11∙200∙10−4+1∙100∙10−4=2МН.R_b=-60∙1,25∙10^{-5}∙2,0∙10^5∙100∙10^{-4}∙200∙10^{-4}\frac{1+1}{1∙200∙10^{-4}+1∙100∙10^{-4}}=2 МН.

Определим нормальные напряжения на каждом участке стержня:

σ1=NA1=RbA1, σ2=RbA2.\sigma_1=\frac{N}{A_1}=\frac{R_b}{A_1},\ \sigma_2=\frac{R_b}{A_2}.
σ1=2100∙10−4=200 МПа, σ2=2200∙10−4=100 МПа.\sigma_1=\frac{2}{100∙10^{-4}} = 200\ МПа,\ \sigma_2=\frac{2}{200∙10^{-4}} = 100\ МПа.
Решение в ПАРИС

Модель создаётся балочными стержневыми элементами. Задача решается в плоской постановке: помимо ограничений всех перемещений в узлах 1 и 21, во всех остальных узлах ограничиваются перемещения Dy, Rx, Rz. Приложение Температурной нагрузки производится через вкладку ленты Нагрузки → панель Статические нагрузки.

Общий вид КЭ-модели и окно задания температурной нагрузки
Общий вид КЭ-модели и окно задания температурной нагрузки
Эпюра продольных сил от температурной нагрузки
Эпюра продольных сил от температурной нагрузки
Эпюра нормальных напряжений от температурной нагрузки
Эпюра нормальных напряжений от температурной нагрузки
Параметр АналитикаПАРИСПогрешность, %
N, кН   -2000-20000
σ₁, МПа  -200-2000
σ₂, МПа-100-1000

Скачать материалы

Последние материалы
Cоосные стержни под действием изменения температурыБалка на упругом основанииЗакритический изгиб консолиТрехступенчатая шарнирная балкаПродвинутый курс | Сравнение скорости моделирования опор
Архивы
Категории

Статьи

Видео

Верификация